2-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2006 жыл


Дөңес $ABCDEF$ алтыбұрышында $AD=BC+EF$, $BE=AF+CD$, $CF=DE+AB$ екені белгілі. Онда $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{CD}{AF}=\dfrac{EF}{BC}$ екенін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-06-11 04:27:46.0 #

Пусть $X \in BE \cap CF, \ \ Y \in AD \cap BE , \ \ Z \in CF \cap AD$

Тогда выразив из теоремы синусов $AB,DE$ из треугольников $AYB, DYE$ и согласно условию $CF=DE+AB=FZ+CZ=CX+FX$ получаем

$$ \sin(AYB) \left( \frac{AY}{\sin(ABE)} + \frac{DY}{\sin(BED)} \right) = FZ+CZ $$

$$ \sin(AYB) \left( \frac{BY}{\sin(BAD)} + \frac{EY}{\sin(ADE)} \right) = CX+FX $$

Аналогично для $BE$

$$ \sin(AZF) \left( \frac{FZ}{\sin(FAD)} + \frac{CZ}{\sin(CDA)} \right) = BY+EY$$

$$ \sin(AZF) \left( \frac{AZ}{\sin(CFA)} + \frac{DZ}{\sin(DCF)} \right) = EX+BX$$

И $AD$

$$ \sin(BXC) \left( \frac{FX}{\sin(BEF)} + \frac{CX}{\sin(CBE)} \right) = AY+DY$$

$$ \sin(BXC) \left( \frac{EX}{\sin(EFC)} + \frac{BX}{\sin(BCF)} \right) = AZ+DZ$$

Так же

$$FZ+CZ=FX+CX$$

$$BY+EY=EX+BX$$

$$AZ+DZ=AY+DY$$

и углы

$$ABE+BAD = BED+ADE$$

$$FAD+CFA = CDA+DCF$$

$$EFC+BEF = BCF+CBE$$

Тогда заметим что решение при $ABE=BED, \ BAD = ADE, \ FAD=CDA, \ CFA=DCF , \ EFC = BCF , \ BEF=CBE$ подходит, так как получаем что $AY=DZ, \ DY=AZ, \ EX=BY, \ EY=BX, \ FX=CZ, \ FZ=CX$ которые удовлетворяют условиям.

Значит $AD || FE || BC$ и $AB || CF || ED$ так же $CD || EB || AD$. То есть $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AY}{DY} = \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{EX}{BX} = \dfrac{CD}{AF}$ или $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{CD}{AF}$