6-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2010 жыл


${{p}^{3}}-{{q}^{7}}=p-q$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық $p$ және $q$ жай сандарын тап.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-10-24 18:06:52.0 #

Разложив на множители

$p(p-1)(p+1) = q(q-1)(q+1)(q^2-q+1)(q^2+q+1)$ левая часть равенство имеет только один множитель $3$ так как три последователен числа, а правая больше одной при $q >3$ потому что $q(q-1)(q+1)$ три последовательных числа , а один из $q(q-1), \ q(q+1)$ будет иметь остаток $2$ по $\mod \ 3$ если $q \ne 3$, значит решение только единственно при $q=3$ откуда $p=13$.