10-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2014 год


Существует ли многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что $P(1+\sqrt{3})= 2+\sqrt{3}$ и $P(3+\sqrt{5})=3+ \sqrt{5} ?$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-10-10 05:04:40.0 #

Рассмотрим многочлен

$P(x)=ax^2+bx+c$

По условию

$P(1+\sqrt{3})=a(1+\sqrt{3})^2+b(1+\sqrt{3})+c=2+\sqrt{3}$

$P(3+\sqrt{5}) = a(3+\sqrt{5})^2+b(3+\sqrt{5})+c=3+\sqrt{5}$

Открывая скобки и приравнивая соотвествующие коэффициенты, получаем систему

$4a+b+c=2 \\ 2a+b=1, \\ 14a+3b+c=3, \\ 6a+b=1$ суммируя получаем что $2(13a+3b+c)=7$ так как коэффициенты целые числа, выходит противоречие.

Рассмотрим многочлен $P(x)=a_{1}x^n+a_{2}x^{n-1}+....ax^2+bx+c$ так как $(1+\sqrt{3})^n=2(2 + \sqrt{3})(1+\sqrt{3})^{n-2}$ и $ (3+\sqrt{5})^n = 2(7+3 \sqrt{5})(3+\sqrt{5})^{n-2}$ тогда по описанному выше методу получаем что все коэффициенты при четырёх уравнениях кроме $b,c$ в будут четными то есть получаем $2(S+13a+3b+c)=7$ противоречие, ответ не существует.