Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2004 год


Докажите, что $({{a}^{2}}+2)({{b}^{2}}+2)({{c}^{2}}+2)\geq 9(ab+bc+ca)$ для любых действительных чисел $a, b, c > 0$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2016-12-07 10:56:36.0 #

пред. Правка 2   2
2020-03-25 23:49:53.0 #

$(a^2+2)(b^2+2)=3(1+\frac{(a+b)^2}{2}) + (ab-1)^2+\frac{(a-b)^2}{2}\ge 3(1+\frac{(a+b)^2}{2})$

Коши-Буняковский теңсіздігінен: $(1+\frac{(a+b)^2}{2}) (c^2+2)\ge \big(\sqrt{1\cdot c^2}+\sqrt{\frac{(a+b)^2}{2}\cdot 2} \big)^2 =(a+b+c)^2$

Соңғы екі теңсіздіктен $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 3(a+b+c)^2 \ \ $ теңсіздігін аламыз.

Ал $\ \ 3(a+b+c)^2=9(ab+bc+ca)+\frac{3}{2}\big((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\big)\ge 9(ab+bc+ca)$

  -1
2020-03-26 22:09:55.0 #

Өте əдемі шешім!

  -1
2020-03-27 00:36:51.0 #

$\textbf{Шешуі:} $

$\textbf{I жағдай.}$

Егер $a\geq 1$ және $b\leq 1$ болса (немесе керісінше), онда Чебышев теңсіздігі бойынша

$$(а^2+2)(b^2+2)=(a^2+1+1)(b^2+1+1)\geq 3(a^2+b^2+1)$$

Ары қарай Коши-Буняковский :

$$ (а^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3 (a^2+b^2+1)(1+1+c^2)\geq 3 (a+b +c)^2\geq 9 (ab+bc+ac )$$

$\textbf{II жағдай.}$

Егер $a\leq 1$ және $b\leq 1$ болса (немесе керісінше), онда Бернулли теңсіздігі бойынша

$$\Big(\frac {a^2-1}{3}+1\Big)\Big(\frac {b^2-1}{3}+1\Big)\Big(\frac {c^2+2}{3}\Big)\geq \Big (\frac {a^2-1}{3}+\frac {b^2-1}{3}+1\Big) \Big(\frac {c^2+2}{3}\Big)=\Big(\frac {a^2+b^2+1}{3}\Big)\Big(\frac {c^2+2}{3}\Big)$$

Ары қарай Коши-Буняковский:

$$\Big(\frac {a^2+b^2+1}{3}\Big)\Big(\frac {c^2+1+1}{3}\Big)\geq \frac {(a+b+c)^2}{9}\geq \frac{3 (ab+bc+ac)}{9}\Rightarrow $$

$$\Rightarrow (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9 (ab+bc+ac) $$

$\textbf{III жағдай.}$

Егер $a\geq 1$ және $b\geq 1$ болса (немесе керісінше), онда белгілі

$$ \forall x,y\geq 0 \quad (x+1)(y+1)\geq x+y+1$$

теңсіздігі бойынша

$$\Big(\frac {a^2-1}{3}+1\Big)\Big(\frac {b^2-1}{3}+1\Big)(c^2+2) \geq \Big(\frac {a^2-1}{3}+\frac {b^2-1}{3}+1\Big)(c^2+2) $$

Ары қарай Коши-Буняковский:

$$\Big(\frac {a^2+b^2+1}{3}\Big)(c^2+1+1)\geq \frac {(a+b+c)^2}{3}\geq ab+bc+ac \Rightarrow $$

$$\Rightarrow (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9 (ab+bc+ac) $$

Дəлелдеу керегі де осы болатын.

  0
2020-08-09 21:55:02.0 #

Неравенство $(a^2+2)(b^2+2)\ge 3(a^2+b^2+1),$ неверно при $a\ge 1,b\le 1,$ например:$a=2,b=\dfrac 1 2.$