X математическая олимпиада «Шелковый путь», 2011 год


Определите наименьшее действительное число $M$ такое, что неравенство $$\left( \dfrac{1}{(a+b)^2} + \dfrac{1}{(b+c)^2} + \dfrac{1}{(c+a)^2}\right) (a-bc)(b-ca)(c-ab) \le M \cdot abc$$ выполнено для всех положительных действительных чисел $a,b,c$, удовлетворяющих равенству $a+b+c = 1$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
2016-01-22 23:46:40.0 #

  1
2019-05-15 14:16:02.0 #

Заметим что $$\frac{1}{(x+y)^2} \leq \frac{1}{4xy}$$ для $x, y \in R^+$. Тогда $$\sum_{sym}{\frac{1}{(a+b)^2}} \leq \frac{a+b+c}{4abc} = \frac{1}{4abc}$$Пусть б.о.о. $a \geq b\geq c$ тогда $a \geq b \geq bc$ и $b \geq c \geq ac$. То есть $a-bc, b-ac$ больше нуля, значит если $c-ab$ меньше нуля то $M=0$. Тогда пусть $c \geq ab$, и тогда $$1. (c-a)(c-b)\geq 0 \Rightarrow 2c^2 \geq c^2 +cb+ac-ab = c-ab$$ $$ 2.4a^2b^2 - (a-bc)(b-ac)= (c-ab)(a-b)^2 \geq 0 \\$$

Следовательно $$(a-bc)(b-ac)(c-ab) \leq 2c^2 * 4a^2b^2 = 8a^2b^2c^2$$

$$\Rightarrow (\sum_{sym}{\frac{1}{(a+b)^2}})(a-bc)(b-ac)(c-ab) \leq \frac{1}{4abc} 8a^2b^2c^2 = 2abc$$

Значит $M=2$, случай равенства $a=b=c=\frac{1}{3}$