Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 11 класс


Последовательность $\{a_n\}_{n=1,2, \ldots}$ определена следующим образом: $$ a_1 = 1, ~{a_n} = \frac{{{a_{\left[ {n/2} \right]}}}}{2} + \frac{{{a_{\left[ {n/3} \right]}}}}{3} + \ldots + \frac{{{a_{\left[ {n/n} \right]}}}}{n}. $$ Докажите, что для всех натуральных чисел $n$ выполнено $a_{2n} < 2a_n$. Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, наибольшее целое число, не превосходящее $x$. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение: