Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс


Пусть $a$, $b$, $c$ натуральные такие, что для любого натурального $n$, число $((a^n - 1)(b^n - 1)(c^n -1) + 1)^3$ делится на $(abc)^n$. Докажите, что $a = b = c$. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2017-01-20 00:04:30.0 #

После раскрытия скобок внутри куба и проверив по $\pmod {(abc)^n}$ получим что

$$(a^nb^n+b^nc^n+c^na^n-a^n-b^n-c^n)^3$$

делится на $(abc)^n$. Взяв НОД$(a,b,c)=d$ и $a=xd,b=yd,c=zd$ получаем, что

$$(d^n(x^ny^n+y^nz^n+z^nx^n)-x^n-y^n-z^n)^3..........(1)$$

делится на $(xyz)^n$.

Так как НОД$(x,y,z)=1$ то легко проверить , что $x,y,z-$ попарно взаимно просты. Б.О.О пусть $z>1$

Проверив остаток от (1) по $\pmod {z^n}$ получаем что:

$$(d^nx^ny^n-x^n-y^n)^3$$

делится на $z^n$.

Пусть простое $p|z$, тогда подставив $n=p-1$ по Малой теореме Ферма получим:

$$(d^{p-1}-2)^3\equiv 0 \pmod p$$

откуда выходит что $p|d$ и следовательно $8\equiv 0 \pmod p$ , поэтому $z$ - четное, а $x,y$ -нечетные (даже $x=y=1$ выходит)

и тогда $x^4\equiv y^4\equiv 1 \pmod {16}$.

Но тогда при $n=4$:

$(d^4x^4y^4-x^4-y^4)^3\equiv (0-1-1)^3=-8 \pmod {16}-$ Противоречие.

Значит $x=y=z=1$.