Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс


На доске записаны числа $1, 2, \ldots, 25$. За ход нужно стереть 3 некоторых числа $a$, $b$, $c$ написанных на доске и записать вместо него число $a^3+b^3+c^3$. Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно $2013^3$. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2020-07-09 17:16:47.0 #

По малой теореме Ферма $$x^3\equiv x\pmod 3$$ откуда $$a^3+b^3+c^3\equiv a+b+c\pmod 3$$

Значит если последнее число на доске будет $2013^3$ , то $$2013^3\equiv 1+2+...+25\pmod 3$$ или $$0\equiv 1\pmod 3$$

что невозможно. Значит последнее число не может быть $2013^3$.