Математикадан республикалық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 9 сынып


Әрбір $n\ge 1$ үшін ${{a}_{n+2}}=\sqrt{{{a}_{n+1}}}+{{a}_{n}}$ теңдігі орындалатындай оң бүтін сандардың ақырсыз $\left( {{a}_{n}} \right)$ тізбегі табыла ма? ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
2018-03-25 12:36:24.0 #

$$\left\{ \begin{gathered} a_3-a_1=\sqrt{a_2}\\ a_4-a_2=\sqrt{a_3}\\ a_5-a_3= \sqrt{a_4} \\ a_6-a_4=\sqrt{a_5}\\ a_7-a_5=\sqrt{a_6}\\ a_8-a_6=\sqrt{a_7}\\.........\\ a_{k+2}-a_k=\sqrt{a_{k+1}} \\ a_{k+3}-a_{k+1}=\sqrt{a_{k+2}}\\ ...........\end{gathered} \right. \Rightarrow$$

$$ \Rightarrow \sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}+...+\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_{k+2}}+...=-\left( a_1+a_2\right) $$

$$\left\{ \begin{gathered} \sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}+...+\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_{k+2}}+...>0 \\ -(a_1+a_2) < 0 \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ a_n \right\} _{n=1}^\infty = \emptyset $$

Ответ: такой последовательности не существует.