Исмаилов Ш.Н.


Задача №1.  Найдите все функции $f:\Bbb R\to \Bbb R$ такие, что $f(x^3+y^3+xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy)$ при всех $x, y\in \Bbb R$. ( Исмаилов Ш.Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Найдите все $k>0$, при которых существует строго убывающая функция $g:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$ такая, что $g(x)\geq kg(x+g(x))$ при всех положительных $x$. ( Исмаилов Ш.Н. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №3.  Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ -- углы треугольника, противолежащие сторонам $a,$ $b$ и $c$ соответственно. Докажите неравенство $$2\left(\cos ^2\alpha +\cos ^2\beta +\cos ^2\gamma \right) \geq {a^2\over b^2+c^2}+{b^2\over a^2+c^2}+{c^2\over a^2+b^2}.$$ ( Исмаилов Ш.Н. )
комментарий/решение(3) олимпиада