И. Рубанов


Задача №1.  На столе лежат 7 карточек с цифрами от 0 до 6. Двое по очереди берут по одной карточке. Выигрывает тот, кто впервые из своих карточек сможет составить натуральное число, делящееся на 17. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его противник? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  На столе лежит 10 кучек с 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 орехами. Двое играющих берут по очереди по одному ореху. Игра заканчивается, когда на столе останется 3 ореха. Если это — три кучки по одному ореху, выигрывает тот, кто ходил вторым, иначе — его соперник. Кто из игроков может выигрывать, как бы не играл соперник? ( И. Рубанов, А. Шаповалов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №3.  Однажды барон Мюнхгаузен, вернувшись с прогулки, рассказал, что половину пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а половину времени, затраченного на прогулку — со скоростью 6 км/ч. Не ошибся ли барон? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4.  На доске нарисованы три четырёхугольника. Петя сказал: «На доске нарисованы по крайней мере две трапеции». Вася сказал: «На доске нарисованы по крайней мере два прямоугольника». Коля сказал: «На доске нарисованы по крайней мере два ромба». Известно, что один из мальчиков сказал неправду, а двое других — правду. Докажите, что среди нарисованных на доске четырёхугольников есть квадрат. (Напомним, что трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.) ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5.  На доске написано число 1. Если на доске написано число $a$, его можно заменить любым числом вида $a+d$, где $d$ взаимно просто с $a$ и $10 \leq d \leq 20$. Можно ли через несколько таких операций получить на доске число $18! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 18$? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №6.  Для четырёх различных целых чисел подсчитали все их попарные суммы и попарные произведения. Полученные суммы и произведения выписали на доску. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №7.  В каждую клетку таблицы $2012 \times 2012$ вписан либо нуль, либо единица, причем в каждом столбце и каждой строке есть как нули, так и единицы. Докажите, что в этой таблице найдутся две строки и два столбца такие, что на концах одной из диагоналей образованного ими прямоугольника стоят нули, а другой — единицы. ( И. Рубанов, Методическая комиссия Эйлера )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №8.  Каждый из 10 гномов — либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда врёт, причём хотя бы один из гномов — рыцарь. Все гномы выстроились в шеренгу, после чего девятеро сказали: «Среди стоящих слева от меня есть рыцарь», а оставшийся, Глоин, сказал: «Среди стоящих справа от меня есть рыцарь». Правду сказал Глоин или солгал? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №9.  На окружности отметили 2013 точек и каждую соединили с двумя соседними. Также отметили центр окружности и соединили его со всеми остальными отмеченными точками. Можно ли покрасить 1007 отмеченных точек в красный, а остальные 1007 — в синий цвет так, чтобы каждая красная точка была соединена с нечётным числом синих, а каждая синяя — с чётным числом синих? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №10.  Дано 2014 попарно различных натуральных чисел таких, что произведение любых двух из них делится на сумму этих двух чисел. Докажите, что ни одно из данных чисел не может быть равно произведению шести попарно различных простых чисел. ( И. Рубанов, С. Берлов, В. Сендеров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №11. Докажите, что в разложение произведения десяти последовательных трёхзначных чисел на простые множители входит не больше 23 различных простых чисел. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №12.  На доске написаны четыре числа, ни одно из которых не равно 0. Если каждое из них умножить на сумму трёх остальных, получатся четыре одинаковых результата. Докажите, что квадраты записанных на доске чисел равны. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №13.  На столе лежит палочка длиной 10 см. Петя ломает её на две части и кладёт обе получившиеся палочки на стол. С одной из лежащих на столе палочек Вася проделывает ту же операцию, потом то же делает Петя и т.д., по очереди. Петя хочет, чтобы после 18 разломов все получившиеся палочки были короче 1 см. Вася хочет помешать Пете. Кто из них имеет возможность добиться своей цели независимо от действий соперника? ( И. Рубанов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №14.  Можно ли за каждую цифру от 0 до 9 назначить цену так, чтобы все 10 цен были различны и нашлись 20 идущих подряд натуральных чисел, каждое из которых, кроме первого, стоит дороже предыдущего? Здесь цена натурального числа — это сумма цен цифр в его записи. ( И. Рубанов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №15.  10 бегунов стартуют одновременно: пятеро в синих майках с одного конца беговой дорожки, пятеро в красных майках — с другого. Их скорости постоянны и различны, причём скорость каждого бегуна больше 9 км/ч, но меньше 12 км/ч. Добежав до конца дорожки, каждый бегун сразу бежит назад, а, вернувшись к месту своего старта, заканчивает бег. Тренер ставит в блокноте галочку каждый раз, когда встречаются (лицом к лицу или один догоняет другого) двое бегунов в разноцветных майках (больше двух бегунов в одной точке за время бега не встречались). Сколько галочек поставит тренер к моменту, когда закончит бег самый быстрый из бегунов? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №16.  В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$, а в треугольниках $ABD$ и $CBD$ биссектрисы $DE$ и $DF$ соответственно. Оказалось, что $EF \parallel AC$. Найдите угол $DEF$. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №17.  Для каждой пары различных натуральных чисел $a$ и $b$, не больших 20, Петя нарисовал на доске прямую $y = ax+b$ (то есть он нарисовал прямые $y = x+2, \ldots , y = x+20,$ $y = 2x+1, y = 2x+3,$ $\ldots,$ $y = 2x+20,$ $\ldots,$ $y = 3x+1, y = 3x+2, y = 3x+4,$ $\ldots,$ $y = 3x+20,$ $\ldots , y = 20x+1, \ldots , y = 20x+19).$ Вася нарисовал на той же доске окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Сколько Петиных прямых пересекает Васину окружность? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №18.  Квадрат со стороной 100 разрезали на квадраты (не обязательно одинаковые) со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата и меньшими 10. Докажите, что сумма периметров получившихся квадратов не меньше 4400. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №19.  На каждой из пяти карточек написано какое-то число. Карточки лежат на столе числами вниз. Мы можем, заплатив рубль, указать на любые три карточки, и нам сообщат сумму написанных на них чисел. За какую наименьшую цену можно наверняка узнать сумму всех пяти чисел? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №20.  Четыре мальчика заглянули в коробку, где лежат цветные шарики. На вопрос, каких цветов шарики там лежат, они ответили так. Петя: «Красные, синие и зелёные». Вася: «Красные, синие и жёлтые». Коля: «Красные, жёлтые и зелёные». Миша: «Жёлтые, зелёные и синие». Могло ли случиться, что каждый из мальчиков один цвет назвал верно, а два — неверно? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №21.  Боря нарисовал девять отрезков, три из которых равны трём высотам треугольника $ABC$, три — трём биссектрисам, три — трём медианам. Оказалось, что для любого из нарисованных отрезков среди остальных восьми найдётся равный ему. Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №22.  По окружности красным карандашом записали 49 различных натуральных чисел, меньших 100. Между каждыми двумя соседними красными числами записали синим их наибольший общий делитель. Могло ли случиться, что все синие числа различны? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №23.  В полдень Вася положил на стол 10 вырезанных из бумаги выпуклых десятиугольников. Затем он время от времени брал ножницы, разрезал по прямой один из лежащих на столе многоугольников на два и клал оба получившихся куска назад на стол. К полуночи Вася проделал такую операцию 51 раз. Докажите, что в полночь среди лежащих на столе многоугольников был треугольник или четырёхугольник. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №24.  Из клетчатой доски размером $70 \times 70$ вырезали 2018 клеток. Докажите, что доска распалась не более чем на 2018 кусков. Два куска, не имеющие общих точек кроме вершин клеток, считаются не соединёнными друг с другом. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №25.  Машина едет с постоянной скоростью в одном направлении по прямой дороге, возле которой стоят два дома. В полдень, когда машина еще не доехала до домов, сумма расстояний от нее до этих домов равнялась 10 км. Через 10 минут, когда машина уже миновала оба дома, оказалось, что сумма расстояний от нее до домов снова равна 10 км. Какова скорость машины? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №26.  При каком наибольшем натуральном $k$ клетки таблицы $5\times 5$ можно заполнить нулями и единицами (в каждой клетке должно стоять ровно одно число) так, чтобы нашлись $k$ строк, в каждой из которых сумма чисел не меньше 3, и $k$ столбцов, в каждом из которых сумма чисел не больше 2? ( И. Рубанов, О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №27.  Найдите все натуральные числа $n$, для которых число $n^7+n^6+n^5+1$ имеет ровно три натуральных делителя. ( И. Рубанов, О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №28.  Назовем сапогом клетчатую фигуру, составленную из прямоугольника шириной одну и длиной не менее двух клеток и клетки, примыкающей сбоку к одной из крайних клеток этого прямоугольника (на рисунке изображен пример сапога, составленного из 5 клеток; фигуры, которые получаются из изображенного сапога поворотами и переворотами — тоже сапоги). Можно ли какой-нибудь клетчатый квадрат разрезать по границам клеточек на сапоги, среди которых нет равных? Напомним, что фигуры называются равными, если их можно наложить друг на друга так, что они совместятся.

( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №29.  Вася, Петя и Коля учатся в одном классе. Вася в ответ на любой вопрос врёт, Петя попеременно врёт и говорит правду, а Коля врёт в ответ на каждый третий вопрос, а в остальных случаях говорит правду. Однажды каждого из них шесть раз подряд спросили, сколько человек учится в их классе. В ответ пять раз прозвучало: «Двадцать пять», шесть раз: «Двадцать шесть» и семь раз: «Двадцать семь». Можно ли по их ответам узнать, сколько человек в их классе на самом деле? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №30.  Петя задумал 8 различных чисел, а потом стал выбирать из них по два и делить большее на меньшее. Он нашел 22 из 28 возможных частных, и они оказались натуральными степенями двойки. Докажите, что 6 оставшихся частных — тоже натуральные степени двойки. (Натуральная степень двойки — это 2 в степени, показатель которой равен натуральному числу.) ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №31.  На окружности отмечены 48 точек, делящих ее на равные дуги. Играют двое, ходят по очереди. За один ход разрешается стереть либо три отмеченные точки, лежащие в вершинах равностороннего треугольника, либо четыре отмеченные точки, лежащие в вершинах квадрата. Кто при правильной игре выиграет независимо от действий соперника: тот, кто делает первый ход, или тот, кто ходит вторым? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №32.  Даны два числа (не обязательно целых), не равные 0. Если каждое из них увеличить на единицу, их произведение увеличится вдвое. А во сколько раз увеличится их произведение, если каждое из исходных чисел возвести в квадрат и затем уменьшить на единицу? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №33.  Графики линейных функций $y = ax+c,$ $y = ax+d,$ $y = bx+e,$ $y = bx+f$ пересекаются в вершинах квадрата $P.$ Могут ли точки $K(a, c),$ $L(a, d),$ $M(b, e),$ $N(b, f)$ располагаться в вершинах квадрата, равного квадрату $P$? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1) олимпиада